Question

7．已知函數(shù)f（x）=2|x-1|-a，g（x）=-|2x+m|，a，m∈R．若關(guān)于x的不等式g（x）≥-1的整數(shù)解有且僅有一值為-3．
（1）求整數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-3≤\frac{1-m}{2}＜-2}\\{-4＜\frac{-1-m}{2}≤-3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求整數(shù)m的值；
（2）由題意可得2|x-1|-a＞-|x+3|，即為a＜2|x-1|+|x+3|的最小值，由絕對值的含義和一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：（1）關(guān)于x的不等式g（x）≥-1的整數(shù)解有且僅有一值為-3，
即為|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-3≤\frac{1-m}{2}＜-2}\\{-4＜\frac{-1-m}{2}≤-3}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{5＜m≤7}\\{5≤m＜7}\end{array}\right.$，
即有5＜m＜7，可得整數(shù)m=6；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，
即有2|x-1|-a＞-|x+3|，
即為a＜2|x-1|+|x+3|的最小值，
由y=2|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{5-x，-3＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-3}\end{array}\right.$，
可得x=1時，取得最小值4，
可得a的范圍是（-∞，4）．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和絕對值的含義，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．