Question

3．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)|PF₁|-|PF₂|取最大值時(shí)，|PF₁|=3，|PF₂|=1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C、圓x²+y²=r²均相切，切點(diǎn)分別為M、N，當(dāng)r在區(qū)間（b，a）內(nèi)變化時(shí)，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的焦半徑公式和橢圓的范圍，可得2c=2，再由橢圓的定義可得2a=4，求得b，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式為0，再由直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合勾股定理，以及基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）|PF₁|-|PF₂|=a+ex_P-（a+ex_P）=2ex_P，
當(dāng)x_P取得最大值a時(shí)，|PF₁|-|PF₂|取最大值．
且有2ea=2，即$\frac{c}{a}$•a=1，即c=1，
又|PF₁|+|PF₂|=4，即2a=4，即a=2，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
即kx-y+m=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵直線l與圓x²+y²=r²相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即m²=r²（k²+1），①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由直線l與橢圓相切，得△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
即m²=4k²+3，②
由①②得k²=$\frac{{r}^{2}-3}{4-{r}^{2}}$，m²=$\frac{{r}^{2}}{4-{r}^{2}}$，
設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀），則x₀²=（$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{16（{r}^{2}-3）}{{r}^{2}}$，
y₀²=$\frac{1}{4}$（12-3x₀²）=$\frac{9（4-{r}^{2}）}{{r}^{2}}$，
∴|OM|²=$\frac{7{r}^{2}-12}{{r}^{2}}$，
∴|MN|²=|OM|²-|ON|²=$\frac{7{r}^{2}-12}{{r}^{2}}$-r²
=7-（r²+$\frac{12}{{r}^{2}}$），
∵$\sqrt{3}$＜r＜2，∴3＜r²＜4，
由r²+$\frac{12}{{r}^{2}}$≥2$\sqrt{{r}^{2}•\frac{12}{{r}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)r²=2$\sqrt{3}$∈（3，4），
|MN|取得最大值，且為$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦半徑公式和橢圓的范圍，考查直線和圓相切的條件：d=r，直線和橢圓相切的條件：判別式為0，以及基本不等式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．