Question

5．已知正四面體ABCD（各面均為正三角形）的棱長為2，其內(nèi)切球面上有一動點P，則AP的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出正四面體的高，進一步得到內(nèi)切球的半徑，由高減去內(nèi)切球的直徑得答案．

解答 解：設正四面體ABCD的棱長為a，高為h，每一個面的面積為S，其內(nèi)切球的半徑為r，
則由等積法可得，$\frac{1}{3}Sh=4•\frac{1}{3}Sr$，即$r=\frac{1}{4}h$．
正四面體ABCD的棱長為2，如圖，
則BE=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$AO=\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴正四面體內(nèi)切球的直徑為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則AP的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，應熟記正四面體內(nèi)切球的半徑是正四面體高的四分之一這一結(jié)論，是中檔題．