Question

17．如圖所示，已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+y²=1左、右端點(diǎn)分別為A₁，A₂，過定點(diǎn)（1，0）的動(dòng)直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．直線A₁P與A₂Q交于點(diǎn)S．
（1）當(dāng)直線斜率為1時(shí)，求直線A₁P與A₂Q的方程．
（2）試問：點(diǎn)S是否恒在一條定直線上．若是求出這條直線方程，若不是請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得直線PQ的方程，代入橢圓方程，求得P，Q的坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程即可求得所求直線方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得A₁P，A₂Q的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，化簡(jiǎn)整理，代入韋達(dá)定理，即可得到x=4．

解答 解：（1）直線PQ：y=x-1，代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}$+y²=1，
可得5x²-8x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{8}{5}$，
即有P（$\frac{8}{5}$，$\frac{3}{5}$），Q（0，-1），
即直線A₁P的方程為y-0=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{8}{5}+2}$（x+2）
即為x-6y+2=0；
A₂Q的方程為y=$\frac{1}{2}$x-1，即為x-2y-2=0；
（2）設(shè)動(dòng)直線x=my+1，代入橢圓方程可得（m²+4）y²+2my-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
且A₁P，A₂Q分別為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
聯(lián)立兩直線方程可得x=2•$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）+{y}_{1}（{x}_{2}-2）}{{y}_{2}（{x}_{1}+2）-{y}_{1}（{x}_{2}-2）}$=2•$\frac{{y}_{2}（m{y}_{1}+3）+{y}_{1}（m{y}_{2}-1）}{{y}_{2}（m{y}_{1}+3）-{y}_{1}（m{y}_{2}-1）}$
=2•$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+3{y}_{2}-{y}_{1}}{3{y}_{2}+{y}_{1}}$=2•$\frac{2m•\frac{-3}{{m}^{2}+4}+3•\frac{-2m}{{m}^{2}+4}-4{y}_{1}}{3•\frac{-2m}{{m}^{2}+4}-2{y}_{1}}$=4，
則點(diǎn)S恒在一條定直線上．且為x=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線方程的求法和求交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．