Question

9．定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”．給出下列結(jié)論：
①函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x為無理數(shù)}\\{1，x為有理數(shù)}\end{array}\right.$，是倍增函數(shù)；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=a^x是倍增函數(shù)；
③若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則y=f（x）至少有1個零點．
其中正確的結(jié)論是②③．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用“倍增函數(shù)”的定義f（x+λ）=λf（x），對題目中的選項進行分析判斷，即可得出正確的答案．

解答 解：對于①，函數(shù)D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x為無理數(shù)}\\{1，x為有理數(shù)}\end{array}\right.$不是連續(xù)函數(shù)，不符合“倍增函數(shù)”定義，∴①錯誤；
對于②，∵f（x）=a^x（0＜a＜1），∴f（x+λ）=a^（x+λ），λf（x）=λa^x，
由a^x•a^λ=λa^x，則滿足λ=a^λ的λ一定存在，∴②正確；
對于③，∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，∴f（x-1）=-f（x），
當x=0時，f（-1）+f（0）=0，若f（0）、f（-1）任意一個為0，則函數(shù)f（x）有零點；
若f（0）、f（-1）均不為0，則f（0）、f（-1）異號，由零點存在性定理得，
在區(qū)間（-1，0）內(nèi)存在x₀，使得f（x₀）=0，∴y=f（x）至少有1個零點，③正確．
故正確的命題為②③．
故答案為：②③．

點評 本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應用的問題，解題時應理解新定義的內(nèi)容是什么，是綜合性題目，屬中檔題．