Question

17．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），直線AP與直線BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若斜率為$\frac{1}{2}$的直線與（1）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）．求證：△QMN的重心在一條定直線上．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出直線AP、BP的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是-$\frac{1}{4}$，建立方程，去掉不滿足條件的點(diǎn)，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，利用韋達(dá)定理，求出重心坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)P（x，y），因?yàn)锳（-2，0），B（2，0）
所以k_AP=$\frac{y}{x+2}$（x≠-2），k_BP=$\frac{y}{x-2}$（x≠2）
由已知，$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$（x≠±2）
化簡(jiǎn)，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）
點(diǎn)P的軌跡方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．
（2）證明：設(shè)直線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，可得x²+2bx+2b²-2=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2b，y₁+y₂=b，
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1），
∴△QMN的重心（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{b+1}{3}$），
設(shè)x=-$\frac{2}{3}$b，y=$\frac{b+1}{3}$，消去b，可得3x+6y-2=0，即：△QMN的重心在一條定直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確表示出直線AP、BP的斜率．