Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）．
（Ⅰ）若曲線C₁與曲線C₂有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=3時(shí)，曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為：y=3-2x．令y=0可得與x軸的交點(diǎn)．曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．利用y=0可得與x軸的交點(diǎn)．
（II）當(dāng)a=3時(shí)，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$化為：x²+y²=9．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離d．利用弦長公式可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-sv2fcid^{2}}$．

解答 解：（I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=1-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為：y=3-2x．與x軸的交點(diǎn)為$（\frac{3}{2}，0）$．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，a＞0）的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．與x軸的交點(diǎn)為（±a，0）．
∵a＞0，∴a=$\frac{3}{2}$．
（II）當(dāng)a=3時(shí)，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$化為：x²+y²=9．
圓心到直線的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-qmzxcgj^{2}}$=2$\sqrt{9-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．