Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+1-2cos²（x-$\frac{π}{12}$），（x∈R），則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 周期T=2π
• B． f（x）向左平移$\frac{π}{6}$后是奇函數(shù)
• C． 一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（$\frac{π}{3}$，0）
• D． 一條對(duì)稱(chēng)軸是x=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和三函數(shù)恒等式求出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此利用正弦函數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=2sinxcosx+1-2cos²（x-$\frac{π}{12}$），（x∈R），
∴f（x）=sin2x-cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=sin2x-（cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故A錯(cuò)誤；
f（x）向左平移$\frac{π}{6}$后，得到y(tǒng)=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]=sin2x$，是奇函數(shù)，故B正確；
f（x）的對(duì)稱(chēng)中心（$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}$，0），k∈Z，故C錯(cuò)誤；
f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二倍角公式、三函數(shù)恒等式和三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．