Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為π，且圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），函數(shù)g（x）=f（x）f（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)遞增區(qū)間[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值可得函數(shù)的解析式，再利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
再根據(jù)圖象過點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），可得sin（2•$\frac{π}{6}$+φ）=$\frac{1}{2}$，∴2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{5π}{6}$，∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
函數(shù)g（x）=f（x）f（x-$\frac{π}{4}$）=cos2xcos2（x-$\frac{π}{4}$）=sin2xcos2x=$\frac{1}{2}$sin4x．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
故答案為：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．