Question

6．設x，y∈[0，+∞），證明不等式：$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵x，y∈[0，+∞），
∴$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$+xy+$\frac{1}{4}$（x+y）≥xy+xy+$\frac{1}{4}$（x+y）=xy+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$y+xy≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．
∴$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

點評 本題考查利用基本不等式證明不等式，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．