Question

1．已知直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)三棱錐D-ABC體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的表面積即可．

解答 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，
如圖：AB=4，AD=2，CD=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
∴BC⊥AC，
取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE，
∵三棱錐體積最大時(shí)，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=2，就是外接球的半徑為2，
此時(shí)外接球的表面積為：4π•2²=16π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折疊問(wèn)題，三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．