Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用消元，將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（2）利用弦長公式求|AB|的長度，利用點(diǎn)到直線的距離公式求AB上的高，然后求三角形面積．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$
得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲線C的直角坐標(biāo)方程是：y²=2x．
由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，
所以直線l的普通方程為：x-y-4=0…（5分）
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
所以|AB|=$\sqrt{2}|{t}_{1}-{t}_{2}|$=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{8}^{2}-4×7}=6\sqrt{2}$，
因?yàn)樵�點(diǎn)到直線x-y-4=0的距離d=$\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
所以△AOB的面積是$\frac{1}{2}×$|AB|d=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=12．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用．