Question

12．海曲市某中學(xué)的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，在對(duì)中學(xué)生的良好“光盤習(xí)慣”的調(diào)查中，隨機(jī)發(fā)放了120份問卷，對(duì)回收的100份有效問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表：

	做不到光盤	能做到光盤	合計(jì)
男	45	10	55
女	30	15	45
合計(jì)	75	25	100

（Ⅰ）現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，若從這9份問卷中隨機(jī)抽取4份，并記錄其中能做到光盤的問卷的份數(shù)為ξ，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）如果認(rèn)為良好“光盤行動(dòng)”與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由．
附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Χ$\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}=\frac{{n（n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}-n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}）\begin{array}{l}2\\{\;}\end{array}}}{{n\begin{array}{l}{\;}\\{1+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{2+}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+1}\end{array}n\begin{array}{l}{\;}\\{+2}\end{array}}}，其中n=n\begin{array}{l}{\;}\\{11}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{12}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{21}\end{array}+n\begin{array}{l}{\;}\\{22}\end{array}$．
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：

P（X2≥k0）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	1.323	2.072	2.706	3841	5.024

Answer 1

分析 （Ⅰ）按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，則抽取到做不到光盤的人數(shù)為6人，能做到光盤的人數(shù)為3人，由題意ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）求出X²=$\frac{100}{33}≈3.03$，由2.706＜3.03＜3.841，得到能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為良好“光盤行動(dòng)”與性別有關(guān)，即精確值應(yīng)為0.10．

解答 解：（Ⅰ）按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，
則抽取到做不到光盤的人數(shù)為：30×$\frac{9}{45}$=6人，能做到光盤的人數(shù)為：15×$\frac{9}{45}$=3人，
由題意ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{42}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{10}{21}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{14}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{21}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

∴Eξ=$0×\frac{5}{42}+1×\frac{10}{21}+2×\frac{5}{14}+3×\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）X²=$\frac{100（45×15-30×10）^{2}}{55×45×25×75}$=$\frac{100}{33}≈3.03$，
∵2.706＜3.03＜3.841，
∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為良好“光盤行動(dòng)”與性別有關(guān)，即精確值應(yīng)為0.10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．