Question

10．已知a＞1，若函數(shù)f（x）=log_ax-a^x有零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，e]
• B． （1，$\sqrt{e}$]
• C． （1，${e}^{\frac{1}{e}}$]
• D． （1，${e}^{\sqrt{e}-1}$]

Answer 1

分析 由反函數(shù)知只需使y=x與y=a^x的圖象有交點，解直線y=x與y=a^x相切時的a的值，從而求a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_ax-a^x有零點，
∴y=log_ax與y=a^x的圖象有交點，
又∵y=log_ax與y=a^x互為反函數(shù)，
∴只需使y=x與y=a^x的圖象有交點，
當(dāng)直線y=x與y=a^x相切時，設(shè)切點為（x，a^x），
則lna•a^x=$\frac{{a}^{x}}{x}$，
故x=$\frac{1}{lna}$=log_ae，
故lna•${a}^{lo{g}_{a}e}$=1，
故a=${e}^{\frac{1}{e}}$；
故a的取值范圍是（1，${e}^{\frac{1}{e}}$]；
故選：C．

點評 本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．