分析 設(shè)直線交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,利用點(diǎn)差法求得斜率,則直線方程可求,然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,再利用弦長公式求得弦長.
解答 解:設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A,B,再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$,
兩式相減,得$({{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2})+4({{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2})=0$,
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4({y}_{1}+{y}_{2})}$,
∵點(diǎn)M(2,1)是AB的中點(diǎn),
∴kAB=$-\frac{4}{4×2}=-\frac{1}{2}$,
則所求直線方程為y-1=$-\frac{1}{2}(x-2)$,即y=-$\frac{1}{2}x+2$;
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$,得x2-4x=0.
∴x1+x2=4,x1x2=0,
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+(-\frac{1}{2})^{2}}×\sqrt{{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
點(diǎn)評 本題主要考查了直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了“舍而不求”的解題思想方法,考查弦長公式的應(yīng)用,是中檔題.
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A. | a≥3 | B. | a≤3 | C. | a≥0 | D. | a≤0 |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,e] | B. | (1,$\sqrt{e}$] | C. | (1,${e}^{\frac{1}{e}}$] | D. | (1,${e}^{\sqrt{e}-1}$] |
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A. | (-∞,-1) | B. | (3,+∞) | C. | (-∞,-3)∪(1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(3,+∞) |
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A. | (-1,2) | B. | (2,-1) | C. | (3,-2) | D. | (3,2) |
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