Question

3．已知數(shù)列{a_n}{n=1，2，3…，2015}，圓C₁：x²+y²-4x-4y=0，圓C₂：x²+y²-2a_nx-2a_2006-ny=0，若圓C₂平分圓C₁的周長，則{a_n}的所有項的和為（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 圓C₁：x²+y²-4x-4y=0，圓C₂：x²+y²-2a_nx-2a_2016-ny=0，相減可得：（2-a_n）x+（2-a_2016-n）y=0．由于圓C₂平分圓C₁的周長，可得直線（*）經(jīng)過圓C₁的圓心（2，2），a_n+a_2016-n=4．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和公式即可得出．

解答 解：圓C₁：x²+y²-4x-4y=0，圓C₂：x²+y²-2a_nx-2a_2016-ny=0，
相減可得：（2-a_n）x+（2-a_2016-n）y=0，（*）
∵圓C₂平分圓C₁的周長，
∴直線（*）經(jīng)過圓C₁的圓心（2，2），
∴2（2-a_n）+2（2-a_2016-n）=0，
∴a_n+a_2016-n=4．
∴a₁+a₂₀₁₅=a_n+a_2016-n=4
∴{a_n}的所有項的和為S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=4030．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列通項公式性質(zhì)及其前n項和公式、相交圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．