Question

10．如圖所示，直線y=kx分拋物線y=x²-x與x軸所圍成圖形為面積相等的兩部分，則實數(shù)k的值為$\frac{\root{3}{4}}{2}-1$．

Answer 1

分析 由題意得到${∫}_{0}^{1}（x-{x}^{2}）dx$=2${∫}_{0}^{k+1}（kx-{x}^{2}+x）dx$整理得到關于k的等式解之．

解答 解：由題意由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-x}\end{array}\right.$得到交點為（0，0），（k+1，k（k+1）），
所以${∫}_{0}^{1}（x-{x}^{2}）dx$=2${∫}_{0}^{k+1}（kx-{x}^{2}+x）dx$
整理得（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=2（$\frac{k}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{0}^{k+1}$
所以（k+1）³=$\frac{1}{2}$，解得k=$\frac{\root{3}{4}}{2}-1$；
故答案為：$\frac{{\root{3}{4}}}{2}-1$

點評 本題考查了運用定積分求曲邊梯形的面積；關鍵是利用定積分表示出面積的關系．