Question

8．在△OAB中，D是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l∥OD，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，則λ₁-λ₂=1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件知$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{OD}$共線，再由D為AB的中點(diǎn)，便得到$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OD}$=$（1+\frac{k}{2}）\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OB}$，從而由平面向量基本定理可得到${λ}_{1}=1+\frac{k}{2}，{λ}_{2}=\frac{k}{2}$，這樣便可求出λ₁-λ₂．

解答 解：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$；
∵l∥OD；
∴$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{OD}$，D是AB中點(diǎn)；
∴存在k，使$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{OD}=\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=$（1+\frac{k}{2}）\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OB}$；
∴${λ}_{1}=1+\frac{k}{2}，{λ}_{2}=\frac{k}{2}$；
∴λ₁-λ₂=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理．