Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足如下條件：
①圖象過原點(diǎn)；
②f（-x+2012）=f（x-2010）；
③方程f（x）=x有重根；
求：
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，結(jié)合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函數(shù)的解析式，我們根據(jù)f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∵圖象過原點(diǎn)，∴c=0．
∵f（x）滿足f（-x+2012）=f（x-2010），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
而二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$，∴-$\frac{2a}$=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-$\frac{1}{2}$．∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
如果存在滿足要求的m，n，則必需3n≤$\frac{1}{2}$，∴n≤$\frac{1}{6}$．
從而m＜n≤$\frac{1}{6}$＜1，而x≤1，f（x）單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=3m}\\{f（n）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=3n}\end{array}\right.$，
可解得m=-4，n=0滿足要求．
∴存在m=-4，n=0滿足要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是由已知條件構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的值域判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程．