Question

5．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a，若函數(shù)f（x）過點(diǎn)A（1，0），求函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 由題意可得f（1）=1-1-1+a=0，從而化簡f（x）=x³-x²-x+1，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）過點(diǎn)A（1，0），
∴f（1）=1-1-1+a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x³-x²-x+1，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴f（x）在[-1，-$\frac{1}{3}$]上是增函數(shù)，在[-$\frac{1}{3}$，1]上是減函數(shù)，
在[1，3]上是增函數(shù)；
而f（-1）=-1-1+1+1=0，
f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$+1=1+$\frac{5}{27}$=$\frac{32}{27}$，
f（1）=0，
f（3）=27-9-3+1=16，
故函數(shù)f（x）的最大值為16，最小值為0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．