Question

5．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）由x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$和三角函數(shù)的知識(shí)可得f（x）的值域?yàn)閇2，3]，進(jìn)而可得m+2∈[2，3]，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）的值域?yàn)閇2，3]，
方程f（x）-m=2可化為f（x）=m+2，
∴m+2∈[2，3]，∴m+2∈[0，1]，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[0，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．