Question

6．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱C′D′上有-點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)B到平面PAA′距離最小時，tan∠PAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)正方體的棱長為a．由于${V}_{P-AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$是一個定值，設(shè)點(diǎn)B到平面PAA′距離為h，則$\frac{1}{6}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△A{A}^{′}P}$，可得h=$\frac{{a}^{2}}{{A}^{′}P}$，因此A′P取得最大值時，h取得最小值．

解答 解：如圖所示，設(shè)正方體的棱長為a．
由于${V}_{P-AB{A}^{′}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$=$\frac{1}{6}{a}^{3}$是一個定值，
設(shè)點(diǎn)B到平面PAA′距離為h，
則$\frac{1}{6}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△A{A}^{′}P}$，${S}_{△A{A}^{′}P}$=$\frac{1}{2}a•{A}^{′}P$，
∴h=$\frac{{a}^{2}}{{A}^{′}P}$，
因此當(dāng)A′P取得最大值A(chǔ)′C′=$\sqrt{2}a$時，h取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∴tan∠PAD=$\frac{AD}{{C}^{′}D}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方體的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．