Question

20．在閣樓上有一個直徑為4m的半圓形窗洞，設(shè)計師要設(shè)計一個矩形窗戶，要求其兩個頂點落在圓的直徑，另兩個頂點落在圓的軌跡上．
（1）根據(jù)所給條件，建立合理體系，并寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求矩形面積S與一邊的長a的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)一邊的長a為多少時，面積S最大值？求其最大值．

Answer 1

分析 （1）首先以直徑的中點為原點，直徑所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知的直徑為4，半徑便為2，所以可以寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）可以畫出圖形，設(shè)矩形的一邊|AB|=a，連接OA，可以表示出矩形的另一邊長為$2\sqrt{4-{a}^{2}}$，從而表示出矩形的面積S=$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}$；
（3）根據(jù)基本不等式便可得到$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}≤4$，并且可求出S取最大值時a的長．

解答 解：（1）如圖，以半圓的直徑中點為原點，直徑所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系；

圓的圓心在原點，半徑為2；
∴圓的方程為x²+y²=4，（y≥0）；
（2）設(shè)原點為O，矩形的一條邊|AB|=a，連接OA，則：
$|OB|=\sqrt{4-{a}^{2}}$；
∴矩形的面積S=$2a•\sqrt{4{-a}^{2}}$，（0＜a＜2）；
（3）$2a•\sqrt{4-{a}^{2}}≤{a}^{2}+4-{a}^{2}=4$；
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{4-{a}^{2}}$，即a=$\sqrt{2}$時取“=”；
∴當(dāng)a=$\sqrt{2}$時，面積S取最大值4．

點評 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知道圓心在原點時圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式：a²+b²≥2ab，的運用，并且知道等號成立的條件．