Question

18．“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|x（ax+1）|在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：如圖示：
，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
則函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²+x|=0得兩個(gè)根分別為x=0或x=-$\frac{1}{a}$＞0，
∴函數(shù)f（x）=|ax²+x|在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減．函數(shù)在[-$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞減，
a=0時(shí)，f（x）=|x|，在（-∞，0）遞減，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
則函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
又f（x）=|ax²+x|=0得兩個(gè)根分別為x=0或x=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴函數(shù)f（x）=|ax²+x|在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{a}$）內(nèi)單調(diào)遞減，在[-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{2a}$，0）遞減，不符合．
∴“a≤0”是“函數(shù)f（x）=|（ax+1）x|在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減”的充分必要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．