Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）．若1≤a≤6，則sinC的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理求得b，進而根據(jù)正弦定理求得sinC的表達式，根據(jù)a范圍即可確定sinC的范圍．

解答 解：∵sinA-sinC=sin（A-B）．
∴sinA=sin（A-B）+sinC=sin（A-B）+sin（A+B）=2sinAcosB，
∴由sinA≠0，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵c=6，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-6a+36，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-6a+36}$，
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-6a+36}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{（a-3）^{2}+27}}$，
∵1≤a≤6，$\sqrt{（a-3）^{2}+27}$∈[3$\sqrt{3}$，6]，
從而得到sinC的取值范圍是：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，考查了余弦定理和正弦定理的綜合應用，屬于基本知識的考查．