Question

1．在直角坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0），M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，若|AM|≤2|BM|恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（　　）

• A． $[\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，+∞）$
• B． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞）$
• C． $（0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$
• D． $（0，\frac{4}{3}）$

Answer 1

分析 結(jié)合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，代入y=$\frac{2t-2x}{t}$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的最小值即可．

解答 解：設(shè)M（x，y），則由A、M、D三點(diǎn)共線可得 $\frac{y-2}{x}$=$\frac{y}{x-t}$，
整理可得y=$\frac{2t-2x}{t}$，
由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，
整理可得3x²+3y²-4y≥0，代入y=$\frac{2t-2x}{t}$，
化簡(jiǎn)可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，
∵3t²+12＞0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得△=（-16t）²-4（3t²+12）•4t²≤0，
整理可得3t⁴-4t²≥0，即t2≥$\frac{4}{3}$，解得t≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或t≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（因?yàn)閠＞0，故舍去）
故正實(shí)數(shù)t的最小值是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三點(diǎn)共線問(wèn)題，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查二次函數(shù)的性質(zhì)是，是一道中檔題．