Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx．
（1）當a=0時，求函數(shù)的極值；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時，f（x）=2x-lnx．（x＞0）．f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$．利用單調(diào)性即可得出極值．
（2）f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$，∵f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數(shù)，由f′（x）≥0在[$\frac{1}{3}$，2]上恒成立，可得ax+2-$\frac{1}{x}$≥0，化為：a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．令g（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．x∈[$\frac{1}{3}$，2]．利用以及其單調(diào)性極值與最值，即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=2x-lnx．（x＞0）．
f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$．
∴當x∈$（0，\frac{1}{2}）$時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當x∈$（\frac{1}{2}，+∞）$時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極小值，$f（\frac{1}{2}）$=$2×\frac{1}{2}-ln\frac{1}{2}$=1+ln2．
（2）f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$，∵f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[$\frac{1}{3}$，2]上恒成立，∴ax+2-$\frac{1}{x}$≥0，化為：a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．
令g（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．x∈[$\frac{1}{3}$，2]．
g′（x）=$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，可知：x∈$[\frac{1}{3}，1）$時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；x∈（1，2]時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．$g（\frac{1}{3}）$=3，g（2）=-$\frac{3}{4}$．可知：x=$\frac{1}{3}$時函數(shù)g（x）取得最大值3．
∴a≥3．
∴實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．