Question

16．已知定義在R上的單調(diào)遞增奇函數(shù)f（x），若當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，確定其范圍，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函數(shù)是奇函數(shù)，
∴當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函數(shù)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，當(dāng)0≤θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)恒成立，
∴m＞$\frac{2-cosθ}{sinθ-2}$
令t=$\frac{cosθ-2}{sinθ-2}$，其幾何意義是P（sinθ，cosθ）（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）與C（2，2）連線的斜率，
P點(diǎn)的軌跡為半徑為1的單位圓，如圖：
∴$\frac{1}{2}$≤t≤2，
∴-2≤t≤$-\frac{1}{2}$
∴m＞$-\frac{1}{2}$．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．