Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（x，3），$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$；
（1）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，求x的值，并判斷$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$同向還是反向；
（2）若向量$\overrightarrow$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$\sqrt{2}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）先寫出向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐標，根據(jù)平行向量的坐標關(guān)系即可建立關(guān)于x的方程，解出x，從而便得到$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐標，根據(jù)坐標即可判斷$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的方向；
（2）根據(jù)投影的計算公式有$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}=\sqrt{2}$，進行數(shù)量積的坐標運算即可解出x．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$=（1+2x，7），$\overrightarrow{n}=（2-x，-1）$；
∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴-（1+2x）-7（2-x）=0；
∴x=3，此時$\overrightarrow{m}=（7，7），\overrightarrow{n}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{m}=-7\overrightarrow{n}$；
∴$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$反向；
（2）向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{x+3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；
∴解得x=-1．

點評 考查向量坐標的加法、減法，及數(shù)乘運算，平行向量的坐標關(guān)系，數(shù)乘的幾何意義，以及向量投影的計算公式，向量數(shù)量積的坐標運算．