Question

3．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），兩點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0）為橢圓C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖已知橢圓C的內(nèi)接平行四邊形ABCD的一組對邊分別過橢圓的焦點(diǎn)F₁、F₂，求該平行四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c，a的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）求出直線AD與x軸垂直時(shí)平行四邊形ABCD面積的值為6，在設(shè)出AD所在直線斜率存在時(shí)的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出AD的長度，再求出兩平行線間的距離，代入平行四邊形面積公式，可得平行四邊形ABCD面積小于6．

解答 解：（1）由題意可知，c=1，又|PF₁|+|PF₂|=2a=2|F₁F₂|=4c，
∴2a=4，a=2，則b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當(dāng)AD所在直線與x軸垂直時(shí)，則AD所在直線方程為x=1，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得y=$±\frac{3}{2}$，
∴平行四邊形ABCD的面積S=2×3=6；
當(dāng)AD所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx-k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
兩條平行線間的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴平行四邊形ABCD的面積S=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}•\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=24\sqrt{\frac{{k}^{4}+{k}^{2}}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$=$24\sqrt{\frac{\frac{1}{16}（4{k}^{2}+3）^{2}-\frac{1}{8}（4{k}^{2}+3）-\frac{3}{16}}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$
=$24\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{4{k}^{2}+3}）^{2}-\frac{1}{8}\frac{1}{4{k}^{2}+3}+\frac{1}{16}}$＜6．
綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值為6．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線和橢圓的位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．