Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2a_n=S_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$，其前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，由2a₁=S₁+2=a₁+2，得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，由$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}={S_n}+2\\ 2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+2\end{array}\right.$，以及a_n=S_n-S_n-1，
兩式相減可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}+1}）（{{2^{n+1}}+1}）}}=\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}$，
故其前n項(xiàng)和$\begin{array}{l}{T_n}=（\frac{1}{{{2^1}+1}}-\frac{1}{{{2^2}+1}}）+（\frac{1}{{{2^2}+1}}-\frac{1}{{{2^3}+1}}）+…（\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}）\end{array}$
化簡可得T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．