Question

10．設(shè)|x|≠1，求證：$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-{x}^{{2}^{n}}}{1-{x}^{{2}^{n}}}$（其中n∈N^*）

Answer 1

分析 通過$\frac{x}{1-x}$利用分式同乘1+x，拆項(xiàng)得到$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，把后一項(xiàng)，利用相同的方法處理，類推，然后移項(xiàng)整理即可．

解答 證明：∵$\frac{x}{1-x}$=$\frac{x（1+x）}{1-{x}^{2}}=\frac{x+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}（1+{x}^{2}）}{1-{x}^{4}}$=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{4}}$=…
=$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$+$\frac{{x}^{{2}^{n}}}{1-{x}^{2n}}$，
∴$\frac{x}{1-{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{4}}$+$\frac{{x}^{4}}{1-{x}^{8}}$+…+$\frac{{x}^{{2}^{n-1}}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{x}{1-x}$-$\frac{{x}^{2n}}{1-{x}^{2n}}$=$\frac{x-{x}^{2n}}{（1-x）（1-{x}^{2n}）}$=$\frac{1}{1-x}$•$\frac{x-{x}^{2n}}{1-{x}^{2n}}$．
∴等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查綜合法證明等式成立的方法，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意本題的解題策略．