Question

14．已知m、n為正整數(shù)，a＞0且a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)列求和化簡(jiǎn)，結(jié)合m、n為正整數(shù)，求出m，n即可得到結(jié)果．

解答 解：m、n為正整數(shù)，a＞0且a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，
可得log_a[m•（1+$\frac{1}{m}$）•（1+$\frac{1}{m+1}$）•…•（1+$\frac{1}{m+n-1}$）]
=log_a[m•$\frac{m+1}{m}$•$\frac{m+2}{m+1}$•…•$\frac{m+n}{m+n-1}$]
=log_am+log_an，
即log_a（m+n）=log_a（m•n）．
∴m+n=mn，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$，
∵m、n為正整數(shù)，
∴m=n=2．
∴$\frac{m}{n}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)列求和的方法，注意正整數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．