Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx-n（m，n∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線過點（1，0），求m+n的值；
（Ⅱ）當n=0時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，+∞）的單調性，并求最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題意，將點（1，0）代入函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程，即得結論；
（Ⅱ）當n=0時，由x≥-1可知${e}^{x}≥\frac{1}{e}$．對導函數(shù)f′（x）=e^x-m中的m分①$m≤\frac{1}{e}$、②$m＞\frac{1}{e}$兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得f′（x）=e^x-m，
所以函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率k=1-m，
又f（0）=1-n，所以函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程y-（1-n）=（1-m）x，
將點（1，0）代入，得m+n=2；
（Ⅱ）當n=0時，函數(shù)f（x）=e^x-mx的定義域為R，f′（x）=e^x-m．
∵x≥-1，∴${e}^{x}≥\frac{1}{e}$．
①當$m≤\frac{1}{e}$時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上單調遞增，
從而${f}_{min}（x）=f（-1）=\frac{1}{e}+m$，無最大值；
②當$m＞\frac{1}{e}$時，由f′（x）=e^x-m=0，解得x=lnm∈（-1，+∞），
當x∈[-1，lnm）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（lnm，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上有最小值為f（lnm）=m-mlnm，無最大值．
綜上所述：當$m≤\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在[-1，+∞）上單調遞增，
有最小值f（-1）=$\frac{1}{e}+m$，無最大值；
當$m＞\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在[-1，lnm）上單調遞減，在（lnm，+∞）上單調遞增，
有最小值為f（lnm）=m-mlnm，無最大值．

點評 本題考查函數(shù)的單調性，最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．