Question

4．已知函數(shù)y=f（x）滿足條件f（2x）=3x²+1，求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）研究函數(shù)f（x）在[-3，6]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$2x=t，則x=\frac{t}{2}$，結(jié)合f（2x）=3x²+1，可得：函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，可得：函數(shù)f（x）在[-3，6]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）設(shè)$2x=t，則x=\frac{t}{2}$
因為f（2x）=3x²+1，所以$f（t）=3{（\frac{t}{2}）^2}+1=\frac{3}{4}{t^2}+1$，
所以$f（x）=\frac{3}{4}{x^2}+1$…5
（2）由函數(shù)f（x）的定義域R關(guān)于原點對稱，
又由$f（-x）=\frac{3}{4}{（-x）^2}+1=\frac{3}{4}{x^2}+1=f（x）$
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)                       …10
（3）∵$f′（x）=\frac{3}{2}x$，
當(dāng)x∈[-3，0]時，f′（x）≤0恒成立；
當(dāng)x∈[0，6]時，f′（x）≥0恒成立；
故函數(shù)f（x）在[-3，0]為減函數(shù)，在[0，6]為增函數(shù)
（注：未說明理由的得2分）       …16

點評 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．