Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=（a+1）n²+a，某三角形三邊為a₂，a₃，a₄，則該三角的面積為$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意求得數(shù)列的前兩項(xiàng)，得到公差，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為0的n的一次或二次函數(shù)求得a，得到具體的首項(xiàng)和公差，求得a₂，a₃，a₄的值，再由海倫公式求面積．

解答 解：令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a₁+4，
∴a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
又由等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=（a+1）n²+a，
得到a=0，∴等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁=1，公差d=2，
∴a₂=3，a₃=5，a₃=7，
設(shè)P=$\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$，
則三角的面積為S=$\sqrt{\frac{15}{2}（\frac{15}{2}-3）（\frac{15}{2}-5）（\frac{15}{2}-7）}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用三角形三邊求三角形面積的方法，是中檔題．