Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比數(shù)列，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用迭代法得到a_n+1-a_n=2a_n+1，從而得到${a}_{n+1}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n}+\frac{1}{2}）$，進(jìn)而得到{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合已知條件得到b₂=6，設(shè){b_n}的公差為d，且d＞0，依題意可得9-d，10，16+d成等比數(shù)例，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1），①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+（n-1）+1，②
①-②，得：a_n+1-a_n=2a_n+1，
∴a_n+1=3a_n+1，
∴${a}_{n+1}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n}+\frac{1}{2}）$，
又${a}_{1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，∴{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，n∈N^*．
（2）∵等差數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，設(shè){b_n}的公差為d，且d＞0，
依題意可得9-d，10，16+d成等比數(shù)例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴b_n=4n-2，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n基和公式、通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．