已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P (
1
2
，
1
2
)且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程．
（3）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知得
c
a
=
6
3
a2=b2+c2=3
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)過點(diǎn)P (
1
2
，
1
2
)的直線與橢圓交于M（xM，yM），N（xN，yN），利用點(diǎn)差法能求出過點(diǎn)P (
1
2
，
1
2
)且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程．
（3）設(shè)直線l：y=kx+b，由已知得b2=
3
4
(k2+1)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立
x2
3
+y2=1
y=kx+b
，得：
1+3k2
3
x2+2kbx+b2-1=0，|AB|=
k2+1
•
(
-6kb
1+3k2
)2-4×
9k2-3
12k2+4
=
3+
4
3k2+1
-
4
(3k2+1)2
，設(shè)：t=
1
3k2+1
，t∈（0，1]，|AB|=
3+4t-4t2
=
-4(t-
1
2
)2+4
，則當(dāng)t=
1
2
時(shí)，|AB|取最大值|AB|max=2，由此能求出△AOB面積的最大值．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，
短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
，
∴
c
a
=
6
3
a2=b2+c2=3
，
解得a=
3
，b=1，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（2）設(shè)過點(diǎn)P (
1
2
，
1
2
)的直線與橢圓交于M（xM，yM），N（xN，yN），
由題意知xM+xN=1，yM+yN=1，
把M（xM，yM），N（xN，yN）代入x2+3y2=3，得：
xM2+3yM2=3
xN2+3yN2=3
，∴（xM+xN）（xM-xN）+3（yM+yN）（yM-yN）=0，
∴（xM-xN）+3（yM-yN）=0，
∴k=
yM-yN
xM-xN
=-
1
3
，
∴過點(diǎn)P (
1
2
，
1
2
)且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程為：
y-
1
2
=-
1
3
（x-
1
2
），整理，得：2x+6y-4=0．
（3）設(shè)直線l：y=kx+b
由于：坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d=
3
2
，
則由點(diǎn)到直線距離公式，得d=
3
2
=
|b|
k2+1
，
則：b2=
3
4
(k2+1)，由于直線l與橢圓C交與A，B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
x2
3
+y2=1
y=kx+b
，得：
1+3k2
3
x2+2kbx+b2-1=0，
△＞0，x1+x2=
-6kb
1+3k2
，x1x2=
9k2-3
12k2+4
，
|AB|=
k2+1
•
(
-6kb
1+3k2
)2-4×
9k2-3
12k2+4

=
k2+1
•
27k2(k2+1)-3(3k2-1)(3k2+1)
(3k2+1)2

=
3+
4
3k2+1
-
4
(3k2+1)2
，
設(shè)：t=
1
3k2+1
，t∈（0，1]，
則：|AB|=
3+4t-4t2
=
-4(t-
1
2
)2+4
，
則當(dāng)t=
1
2
時(shí)，|AB|取最大值|AB|max=2，
此時(shí)k=±
3
3
，
∴△AOB面積的最大值
（S△AOB）max=
1
2
×|AB|max×
3
2
=
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
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下列函數(shù)中，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（　�。�
①y=1x；
②y=-4x；
③y=（-8）x．
A、0B、1C、2D、3

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7
2
，|AF2|=
5
2
．
（1）求曲線C1和C2的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C，D是曲線C2所在拋物線上的兩點(diǎn)（如圖）．設(shè)直線OC的斜率為k1，直線OD的斜率為k2，且k1+k2=
2
，證明：直線CD過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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π
2
）角方向走d米到達(dá)位置D，測(cè)得∠BDC=γ．
（Ⅰ）若β=75°，求sin∠BCD的值；
（Ⅱ）求此建筑物的高度（用字母表示）．

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已知y=-x+3
x
+1，則y的取值范圍為
 
．

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