Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-lgx，x＞1}\\{{x}^{3}-3x，x≤1}\end{array}\right.$．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點（-3，f（-3））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m恰有2個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x≤1時的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（-3），再求出f（-3），由直線方程的點斜式得答案；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）當x≤1時，f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
∴f′（-3）=24，又f（-3）=-18，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（-3，f（-3））處的切線方程為y+18=24（x+3），
即y=24x+54；
（2）當x≤1時，令f′（x）=3x²-3＜0，
解得-1＜x＜1，
令f′（x）=3x²-3＞0，解得x＜-1．
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的極大值為f（-1）=2；
由當x＞1時，f（x）=1-lgx單調(diào)遞減，且f（1）=-2，1-lg1=1．
結(jié)合圖象可得，當m∈（-∞，-2）∪[1，2）時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m恰有2個不同的交點．
故m∈（-∞，-2）∪[1，2）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查函數(shù)零點的判定方法，是中檔題．