Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁∈（0，1），a_n+1=-a${\;}_{n}^{2}$+a_n+c（n∈N^*）
（1）證明：“對任意a₁∈（0，1），a_n∈（0，1）”的充要條件是“c∈[0，$\frac{3}{4}$）”
（2）若a₁=$\frac{1}{5}$，c=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n，R_n=b₁•b₂…b_n，若對任意的n≥10，
n∈N^*，不等式kn-n²（5R_n-T_n）≥2015的解集非空，求滿足條件的實數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）必要性：${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），可得a₂∈$（c，c+\frac{1}{4}]$，由$（c，c+\frac{1}{4}]$⊆（0，1），即可得出c的取值范圍．
充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
（2）由（1）知a_n∈（0，1），可得b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，利用“累乘求積”可得R_n；又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，利用“裂項求和”可得T_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5．化簡整理再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解（1）必要性：${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），可得a₂∈$（c，c+\frac{1}{4}]$，
由$（c，c+\frac{1}{4}]$⊆（0，1），得c∈$[0，\frac{3}{4}）$．
充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①n=1成立，n=2時，${a}_{2}=-（{a}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}+c+\frac{1}{4}$，由a₁∈（0，1），c∈$[0，\frac{3}{4}）$，得a₂∈（0，1）；
②設(shè)n=k時，a_k∈（0，1），
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=-$（{a}_{k}-\frac{1}{2}）^{2}$+c+$\frac{1}{4}$，由a_k∈（0，1），c∈$[0，\frac{3}{4}）$，得a_k+1∈（0，1）；
從而，對任意n∈N^*，a_n∈（0，1）．
綜上，原題充要性得證．
（2）由（1）知a_n∈（0，1），∴b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，∴R_n=b₁•b₂…b_n=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{5{a}_{n+1}}$．又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
T_n=-$[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$=-$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-5．
∴5R_n-T_n=5，
∴kn-n²（5R_n-T_n）≥2015，化為k≥5n+$\frac{2015}{n}$，
由于對任意n≥10，n∈N^*有解，
當(dāng)n=20，5n+$\frac{2015}{n}$=$200+\frac{3}{4}$；當(dāng)n=21，5n+$\frac{2015}{n}$=200+$\frac{20}{21}$＞200+$\frac{3}{4}$．
∴k_min=200.75．

點評 本題考查了充要條件、數(shù)學(xué)歸納法、“累乘求積”、“裂項求和”、基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．