Question

7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，點M，N滿足$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=（1-λ）\overrightarrow{AC}$，λ∈R，若$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$，則λ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意推出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，根據(jù)$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$，通過向量的轉(zhuǎn)化求得λ的值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=（1-λ）\overrightarrow{AC}$，λ∈R，
由于$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}$=$（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）$=[$（1-λ）\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$]•[$λ\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$]
=$λ（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$$-（1-λ）|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$-λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-4（1-λ）-λ=-2，
解得：λ=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，著重考查了向量的線性運算法則、向量數(shù)量積的定義與運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．