Question

17．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{2x+y-5≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． 3$+2\sqrt{2}$
• B． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)條件畫出可行域，z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by過可行域內(nèi)的點(diǎn)（2，4）時(shí)取得最大值，從而得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答 解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）
過直線x-y+1=0與直線3x-y-3=0的交點(diǎn)A（2，4）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值2，
即2a+4b=2，即a+2b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$-1時(shí)，取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．本題要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．