Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²-2n+1，
（1）證明：a_n＞2n-1（n≥3）；
（2）證明：$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）求出前幾項(xiàng)，由數(shù)學(xué)歸納法證明，注意證明n=k+1時(shí)，運(yùn)用假設(shè)，同時(shí)運(yùn)用分析法，即可得證；
（2）由題意可得a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$＞$\sqrt{2n-1}$，寫出幾個(gè)式子，再由放縮法，即可得證．

解答 證明：（1）a₁=2，a_n+1=a_n²-2n+1，
可得a₂=a₁²-2+1=4-2+1=3，
a₃=a₂²-4+1=9-4+1=6，
當(dāng)n=3時(shí)，a₃=6，2n-1=5，即有不等式成立；
假設(shè)n=k時(shí)，a_k＞2k-1（k≥3），
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k²-2k+1＞（2k-1）²-（2k-1）
=4k²-6k+2，
由4k²-6k+2-（2k+1）=4k²-8k+1，當(dāng)k≥3時(shí)，
即有4k²-8k+1≥4×9-8×3+1＞0，
則n=k+1時(shí)，a_k+1＞2（k+1）-1成立．
綜上可得，a_n＞2n-1（n≥3）；
（2）a_n+1=a_n²-2n+1，
可得a_n=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$＞$\sqrt{2n-1}$，
2=a₁=$\sqrt{{a}_{2}+1}$，a₂=$\sqrt{{a}_{3}+3}$，a₃=$\sqrt{{a}_{4}+5}$，
…，
即有2=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+{a}_{4}}}}$=…=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$，
由于a_n+1＞$\sqrt{2（n+1）-1}$=$\sqrt{2n+1}$，
即有$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$＞$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$，
則$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$＜2成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法證明，考查推理能力，屬于中檔題．