Question

5．已知f（x）=x²+ax-lnx+1，g（x）=x²+1．
（1）若a=-1，判斷是否存在x₀＞0，使得f（x₀）＜0，并說明理由；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e≈2.718，為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值為3．

Answer 1

分析 （1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，列表得到極值點(diǎn)，求出極值和最小值即可得到結(jié)論．．
（2）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得出極值，即得到最小值，按照參數(shù)a的范圍進(jìn)行討論．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-x-lnx+1，定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}=\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值f（1）	↑

由表格可知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值f（x）_極小值=f（1）=1，同時(shí)也是最小值，
即f（x）≥1，故不存在x₀＞0，使得f（x₀）＜0，
（2）因?yàn)閒（x）=x²+ax-lnx+1，g（x）=x²+1
所以h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax-lnx+1-（x²+1）=ax-lnx，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得h（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，h'（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，h'（x）＜0，所以h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，h'（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$
1°，當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{1}{a}≥e$，h'（x）＜0在（0，e]上恒成立．
所以h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
2°，當(dāng)$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，$0＜\frac{1}{a}＜e$，當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{a}$時(shí)，h'（x）＜0，所以h（x）在（$0，\frac{1}{a}$）上遞減，

當(dāng)$\frac{1}{a}＜x＜e$時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（$\frac{1}{a}，e$）上遞增，
所以h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，a=e²，滿足條件；
綜上可知，存在a=e²使得x∈（0，e]時(shí)h（x）有最小值3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)在極值中的應(yīng)用和含參數(shù)的函數(shù)最值的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．