Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+2x）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單凋增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得單凋增區(qū)間；
（3）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$分別為2kπ+$\frac{π}{2}$和2kπ-$\frac{π}{2}$，函數(shù)取最大、小值，解x可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+2x）
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的單凋增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（3）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值2；
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值以及周期性，屬基礎(chǔ)題．