Question

20．設a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當a≤0時，判斷f（x）的增減性；
（3）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）利用反證法，假設f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），推出矛盾結果，即可證明函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）利用換元法結合復合函數(shù)單調性之間的關系進行判斷即可；
（3）通過當a≤0，$0≤a≤\frac{1}{2}$，$a≥\frac{1}{2}$，分別求函數(shù)f（x）的最小值（用a表示）即可．

解答 證明：（1）假設f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
而x∈R，則f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假設不成立，
從而函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．
解：（2）當a≤0時，f（x）=e^2x+e^x-a，
設t=e^x，則t＞0，y=h（t）=t²+t-a=（t+$\frac{1}{2}$）²-a-$\frac{1}{4}$，
當t＞0時，h（t）單調增，而t=e^x，也為增函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)的單調性的關系得f（x）為增函數(shù)．
（3）設t=e^x，則t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
當a≤0時，y=f（x）=t²+t-a在t＞0時單調增，則f（x）＞f（0）=-a；
當$0≤a≤\frac{1}{2}$時，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
當$a≥\frac{1}{2}$時，$y=f（x）={t^2}+t-a≥f（\frac{1}{2}）=a-\frac{1}{4}$；
故當a≤0時，f（x）的最小值為f（x）_min=-a；
當$0≤a≤\frac{1}{2}$時，f（x）的最小值為f（x）_min=a²，
當$a≥\frac{1}{2}$時，f（x）的最小值為f（x）_min=a-$\frac{1}{4}$

點評 本題考查函數(shù)的單調性的應用，函數(shù)的最值的求解，利用分段函數(shù)的性質結合分類討論思想是解決本題的關鍵．考查轉化思想計算能力．