Question

19．已知sinα=$\frac{2}{3}$，cosβ=-$\frac{3}{4}$，且α、β∈（$\frac{π}{2}$，π），判斷α-β是第幾象限角？

Answer 1

分析 由條件求得α-β∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$ ），再根據(jù)sin（α-β）＜0，求得α-β是第幾象限角．

解答 解：∵sinα=$\frac{2}{3}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），cosβ=-$\frac{3}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），且α、β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$）、β∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$ ），
∴α-β∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$ ）．
再根據(jù)cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
可得sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{2}{3}•（-\frac{3}{4}）$-（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）•$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{-6+\sqrt{35}}{12}$＜0，
可得α-β∈（-$\frac{π}{12}$，0），故α-β為第四象限角．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，兩角差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．