Question

14．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，給出下列3個(gè)函數(shù)：
①f（x）=sinx；
②f（x）=x³-3x；
③f（x）=lgx+3．
其中具有性質(zhì)P的函數(shù)是②．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，根據(jù)其在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)增函數(shù)，通過(guò)分析方程sinx=x在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上僅有一解，判斷即可；
②通過(guò)對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，找到極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，并求出極大值b和極小值a，而求得的f（a）與f（b）在[a，b]范圍內(nèi)，滿足性質(zhì)P；
③根據(jù)“性質(zhì)P”的定義，函數(shù)存在“區(qū)間M”，只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有“區(qū)間P”，判斷即可．

解答 解：①對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，若正弦函數(shù)存在等值區(qū)間[a，b]，
則在區(qū)間[a，b]上有sina=a，sinb=b，
由正弦函數(shù)的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，
但在區(qū)間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，
所以函數(shù)f（x）=sinx不具有性質(zhì)P；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）0．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此時(shí)f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也為[-2，2]，
則具有性質(zhì)P；
③對(duì)于 f（x）=lgx+3，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{lga+3=a}\\{lgb+3=b}\end{array}\right.$，即方程lgx+3=x有兩個(gè)解，這與y=lgx+3和y=x的圖象相切相矛盾．
故③不具有性質(zhì)P．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，此題中單調(diào)函數(shù)存在好區(qū)間的條件是f（x）=x，正確理解“性質(zhì)P”的定義是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．