Question

8．已知直線x=2a與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交A，B兩點，O為坐標原點，若△AOB是正三角形，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{11}}}{3}$

Answer 1

分析 聯(lián)立方程求出A，B的坐標，結(jié)合三角形是正三角形，建立方程關(guān)系求出a，b的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=2a時，代入雙曲線方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
即$\frac{y^2}{b^2}$=4-1=3，則y=±$\sqrt{3}$b，
不妨設(shè)A（2a，$\sqrt{3}$b），B（2a，-$\sqrt{3}$b），
∵△AOB是正三角形，
∴tan30°=$\frac{\sqrt{3}b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則b=$\frac{2}{3}$a，
平方得b²=$\frac{4}{9}$a²=c²-a²，
則$\frac{13}{9}$a²=c²，
則e²=$\frac{13}{9}$，
則e=$\frac{{\sqrt{13}}}{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)方程組結(jié)合正三角形的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．