Question

3．變量x，y滿足不等式$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-a）}^2}+{{（y-a）}^2}≤5}\\{{{（x-a）}^2}-{{（y-a）}^2}≥0}\end{array}}\right.$，其中a為常數(shù)，當(dāng)2x+y的最大值為2時(shí)，則a=（　�。�

• A． $\frac{7}{3}$
• B． -1
• C． $\frac{7}{3}$或-1
• D． 0

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)不等式組，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：不等式組等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^{2}+（y-a）^{2}≤5}\\{（x+y-2a）（x-y）≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，則圓心C（a，a），
設(shè)z=2x+y則y=-2x+z，
當(dāng)直線y=-2x+z與圓相切時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大，為2，此時(shí)2x+y=2，
由d=$\frac{|2a+a-2|}{\sqrt{4+1}}=\sqrt{5}$，得|3a-2|=5，
則3a-2=5或3a-2=-5，
得a=$\frac{7}{3}$或a=-1
此時(shí)C（a，a）在直線2x+y=2的下方，即滿足2a+a＜2，
即a＜$\frac{2}{3}$，此時(shí)a=$\frac{7}{3}$不滿足條件．
故a=-1
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓相切的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．